AuxiliaryUnitMatrix (n)
Δίνει τον βοηθητικό μοναδιαίο πίνακα μεγέθους n
. Αυτός είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με όλα μηδέν εκτός από την υπερδιαγώνιο που είναι όλα 1. Είναι ο σύνθετος πίνακας Jordan με ιδιοτιμή ενός μηδενικού.
See Planetmath or Mathworld for more information on Jordan Canonical Form.
BilinearForm (v,A,w)
Υπολογίζει (v,w) ως προς τη διγραμμική μορφή που δίνεται από τον πίνακα Α.
BilinearFormFunction (A)
Επιστρέφει μια συνάρτηση που υπολογίζει δύο διανύσματα ως προς τη διγραμμική μορφή που δίνεται από το Α.
CharacteristicPolynomial (M)
Παραλλαγές: CharPoly
Δίνει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ως διάνυσμα. Δηλαδή, επιστρέφει τους συντελεστές του πολυωνύμου ξεκινώντας με τον σταθερό όρο. Αυτό είναι το πολυώνυμο που ορίστηκε από det(M-xI)
. Οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου είναι οι ιδιοτιμές του M
. Δείτε επίσης CharacteristicPolynomialFunction.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
CharacteristicPolynomialFunction (M)
Δίνει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ως συνάρτηση. Αυτό είναι το πολυώνυμο που ορίστηκε από το det(M-xI)
. Οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου είναι οι ιδιοτιμές του M
. Δείτε επίσης CharacteristicPolynomial.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
ColumnSpace (M)
Δίνει έναν πίνακα βάσης για τον χώρο στηλών ενός πίνακα. Δηλαδή, επιστρέφει έναν πίνακα του οποίου οι στήλες είναι η βάση για τον χώρο στηλών του M
. Αυτός είναι ο χώρος που καλύπτεται από τις στήλες του M
.
See Wikipedia for more information.
CommutationMatrix (m, n)
Επιστρέφει τον αντιμεταθετικό πίνακα K(m,n)
που είναι ο μοναδικός πίνακας m*n
επί m*n
τέτοιος ώστε K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.')
για όλους τους πίνακες Α
m
επί n
.
CompanionMatrix (p)
Συνοδός πίνακας ενός πολυωνύμου (ως διανύσματος).
ConjugateTranspose (M)
Συζυγής ανάστροφος πίνακας (συζυγής). Αυτός είναι ο ίδιος με τον τελεστή '
.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
Convolution (a,b)
Παραλλαγές: convol
Υπολογίζει τη συνέλιξη των δύο οριζόντιων διανυσμάτων.
ConvolutionVector (a,b)
Υπολογίζει τη συνέλιξη των δύο οριζόντιων διανυσμάτων. Επιστρέφει αποτέλεσμα ως διάνυσμα του οποίου τα στοιχεία δεν προστίθεται μαζί.
CrossProduct (v,w)
Διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων στο R3 ως διάνυσμα στήλης.
See Wikipedia for more information.
DeterminantalDivisorsInteger (M)
Get the determinantal divisors of an integer matrix.
DirectSum (M,N...)
Ευθύ άθροισμα των πινάκων.
See Wikipedia for more information.
DirectSumMatrixVector (v)
Ευθύ άθροισμα ενός διανύσματος πινάκων.
See Wikipedia for more information.
Eigenvalues (M)
Παραλλαγές: eig
Δίνει τις ιδιοτιμές ενός τετραγωνικού πίνακα. Προς το παρόν δουλεύει μόνο για πίνακες μεγέθους μέχρι 4 επί 4, ή για τριγωνικούς πίνακες (για τους οποίους οι ιδιοτιμές είναι στη διαγώνιο).
See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.
Eigenvectors (M)
Eigenvectors (M, &eigenvalues)
Eigenvectors (M, &eigenvalues, &multiplicities)
Δίνει τα ιδιοδιανύσματα ενός τετραγωνικού πίνακα. Προαιρετικά παίρνετε επίσης τις ιδιοτιμές και τις αλγεβρικές πολλαπλότητες. Προς το παρόν δουλεύει μόνο για πίνακες μεγέθους μέχρι 2 επί 2.
See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.
GramSchmidt (v,B...)
Εφαρμόζει τη διεργασία Gram-Schmidt (στις στήλες) ως προς το εσωτερικό γινόμενο που δίνεται από το B
. Αν το B
δεν δίνεται, τότε χρησιμοποιείται το τυπικό ερμιτιανό γινόμενο. Το B
μπορεί να είναι ή γραμμικο-ημιγραμμική συνάρτηση δύο ορισμάτων ή μπορεί να είναι ένας πίνακας που δίνει μια γραμμικο-ημιγραμμική μορφή. Τα διανύσματα θα γίνονται ορθοκανονικά ως προς το B
.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
HankelMatrix (c,r)
Hankel matrix, a matrix whose skew-diagonals are constant. c
is the first row and r
is the
last column. It is assumed that both arguments are vectors and the last element of c
is the same
as the first element of r
.
See Wikipedia for more information.
HilbertMatrix (n)
Πίνακας Χίλμπερτ τάξης n
.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
Image (T)
Δίνει την εικόνα (διάστημα στήλης) ενός γραμμικού μετασχηματισμού.
See Wikipedia for more information.
InfNorm (v)
Δίνει την απειρονόρμα ενός διανύσματος, μερικές φορές λέγεται νόρμα ελάχιστου άνω φράγματος ή νόρμα μεγίστου.
InvariantFactorsInteger (M)
Get the invariant factors of a square integer matrix.
InverseHilbertMatrix (n)
Αντίστροφος πίνακας Χίλμπερτ τάξης n
.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
IsHermitian (M)
Αν είναι ένας ερμιτιανός πίνακας. Δηλαδή, αν είναι ίσος με τον ανάστροφο συζυγή.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
IsInSubspace (v,W)
Ελέγχει αν ένα διάνυσμα είναι σε έναν υπόχωρο.
IsInvertible (n)
Αν είναι ένας πίνακας (ή αριθμός) αντιστρέψιμος (ένας ακέραιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν είναι αντιστρέψιμος στους ακέραιους).
IsInvertibleField (n)
Αν είναι ένας πίνακας (ή αριθμός) αντιστρέψιμος σε ένα πεδίο.
IsNormal (M)
Αν είναι ο M
ένας κανονικός πίνακας. Δηλαδή, κάνει M*M' == M'*M
.
See Planetmath or Mathworld for more information.
IsPositiveDefinite (M)
Αν είναι το M
ένας ερμιτιανός θετικά ορισμένος πίνακας. Δηλαδή, αν το HermitianProduct(M*v,v)
είναι πάντα αυστηρά θετικό για κάθε διάνυσμα v
. Ο M
πρέπει να είναι τετραγωνικός και ερμιτιανός για να είναι θετικά ορισμένος. Ο έλεγχος που εκτελείται είναι ότι κάθε βασικός υποπίνακας έχει μία μη αρνητική ορίζουσα. (Δείτε HermitianProduct)
Σημειώστε ότι κάποιοι συγγραφείς (για παράδειγμα Mathworld) δεν απαιτούν ο M
να είναι ερμιτιανός και τότε η συνθήκη είναι στο πραγματικό μέρος του εσωτερικού γινομένου, αλλά δεν παίρνουμε αυτήν την πλευρά. Αν θέλετε να εκτελέσετε αυτόν τον έλεγχο, ελέγξτε απλά το ερμητιανό μέρος του πίνακα M
ως εξής: IsPositiveDefinite(M+M')
.
See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.
IsPositiveSemidefinite (M)
Αν είναι ο M
ένας ερμιτιανός θετικά ημιορισμένος πίνακας. Δηλαδή, αν το HermitianProduct(M*v,v)
είναι πάντα μη αρνητικό για κάθε διάνυσμα v
. Το M
πρέπει να είναι τετραγωνικός και ερμιτιανός για να είναι θετικά ημιορισμένος. Ο έλεγχος που εκτελείται είναι ότι κάθε βασικός υποπίνακας έχει μια μη αρνητική ορίζουσα. (Δείτε HermitianProduct)
Σημειώστε ότι κάποιοι συγγραφείς δεν απαιτούν ο M
να είναι ερμιτιανός και τότε η συνθήκη είναι στο πραγματικό μέρος του εσωτερικού γινομένου, αλλά δεν παίρνουμε αυτήν την πλευρά. Αν θέλετε να εκτελέσετε αυτόν τον έλεγχο, ελέγξτε απλά το ερμιτιανό μέρος του πίνακα M
ως εξής: IsPositiveSemidefinite(M+M')
.
See Planetmath or Mathworld for more information.
IsSkewHermitian (M)
Αν είναι ο πίνακας λοξός ερμιτιανός. Δηάδή, αν είναι ο συζυγής ανάστροφος ίσος με τον αρνητικό του πίνακα.
See Planetmath for more information.
IsUnitary (M)
Είναι ένας πίνακας μοναδιαίος; Δηλαδή, αν είναι οι M'*M
and M*M'
ίσοι στην ταυτότητα.
See Planetmath or Mathworld for more information.
JordanBlock (n,lambda)
Παραλλαγές: J
Δίνει το μπλοκ Jordan που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή lambda
με πολλαπλότητα n
.
See Planetmath or Mathworld for more information.
Kernel (T)
Δίνει τον πυρήνα (διάστημα κενού) ενός γραμμικού μετασχηματισμού.
(Δείτε NullSpace)
KroneckerProduct (M, N)
Παραλλαγές: TensorProduct
Υπολογίζει το γινόμενο Κρόνεκερ (γινόμενο τανυστή σε τυπική βάση) δύο πινάκων.
See Wikipedia, Planetmath or Mathworld for more information.
Version 1.0.18 onwards.
LUDecomposition (A, L, U)
Get the LU decomposition of A
, that is
find a lower triangular matrix and upper triangular
matrix whose product is A
.
Store the result in the L
and
U
, which should be references. It returns true
if successful.
For example suppose that A is a square matrix, then after running:
genius>
LUDecomposition(A,&L,&U)
You will have the lower matrix stored in a variable called
L
and the upper matrix in a variable called
U
.
Αυτή είναι η ανάλυση LU ενός πίνακα γνωστό και ως Crout και/ή αναγωγή Σολεσκί. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) Ο άνω τριγωνικός πίνακας χαρακτηρίζει μια διαγώνιο τιμών 1 (ένα). Αυτή δεν είναι η μέθοδος του Doolittle που χαρακτηρίζει τη διαγώνιο του 1 στον κάτω πίνακα.
Δεν έχουν όλοι οι πίνακες αναλύσεις LU, για παράδειγμα το [0,1;1,0]
δεν έχει και αυτή η συνάρτηση επιστρέφει false
σε αυτήν την περίπτωση και ορίζει L
καιU
σε null
.
See Wikipedia, Planetmath or Mathworld for more information.
Minor (M,i,j)
Δίνει τον ελάσσονα i
-j
ενός πίνακα.
See Planetmath for more information.
NonPivotColumns (M)
Επιστρέφει τις στήλες που δεν είναι οδηγούσες στήλες ενός πίνακα.
Norm (v,p...)
Παραλλαγές: norm
Δίνει τη νόρμα p (ή νόρμα 2 αν κανένα p δεν δίνεται) ενός διανύσματος.
NullSpace (T)
Δίνει τον μηδενικό χώρο ενός πίνακα. Δηλαδή, τον πυρήνα της γραμμικής απεικόνισης που απεικονίζει ο πίνακας. Αυτός επιστρέφεται ως ένας πίνακας του οποίου ο χώρος στηλών είναι ο μηδενικός χώρος του T
.
See Planetmath for more information.
Nullity (M)
Παραλλαγές: nullity
Δίνει την μηδενικότητα ενός πίνακα. Δηλαδή, επιστρέφει τη διάσταση του μηδενικού χώρου· η διάσταση του πυρήνα του M
.
See Planetmath for more information.
OrthogonalComplement (M)
Δίνει του ορθογωνίου συμπληρώματος του χώρου στήλης.
PivotColumns (M)
Επιστρέφει τις οδηγούσες στήλες ενός πίνακα, δηλαδή τις στήλες που έχουν ένα αρχικό 1 σε ανηγμένη μορφή κατά γραμμές. Επίσης επιστρέφει τη γραμμή που αυτό συμβαίνει.
Projection (v,W,B...)
Προβολή του διανύσματος v
στον υπόχωρο W
ως προς το δοσμένο εσωτερικό γινόμενο από το B
. Αν το B
δεν δίνεται, τότε το τυπικό ερμιτιανό γινόμενο χρησιμοποιείται. Το B
μπορεί ή να είναι γραμμικο-ημιγραμμική συνάρτηση των δύο ορισμάτων ή μπορεί να είναι ένας πίνακας που δίνει μια γραμμικο-ημιγραμμική μορφή.
QRDecomposition (A, Q)
Get the QR decomposition of a square matrix A
,
returns the upper triangular matrix R
and sets Q
to the orthogonal (unitary) matrix.
Q
should be a reference or null
if you don't
want any return.
For example:
genius>
R = QRDecomposition(A,&Q)
You will have the upper triangular matrix stored in
a variable called
R
and the orthogonal (unitary) matrix stored in
Q
.
See Wikipedia or Planetmath or Mathworld for more information.
RayleighQuotient (A,x)
Επιστρέφει το πηλίκο Ρέιλι (λέγεται επίσης πηλίκο ή λόγος Ρέιλι-Ρίτζ) ενός πίνακα και ενός διανύσματος.
See Planetmath for more information.
RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vecref)
Βρίσκει τις ιδιοτιμές του A
χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επανάληψης πηλίκου Ρέιλι. Το x
είναι μια πρόβλεψη στο ιδιοδιάνυσμα και μπορεί να είναι τυχαία. Πρέπει να έχει μη μηδενικό φανταστικό μέρος, αν θα έχει κάποια πιθανότητα στην εύρεση μιγαδικών ιδιοτιμών. Ο κώδικας θα εκτελεστεί στις περισσότερες επαναλήψεις maxiter
και θα επιστρέψει null
αν δε μπορούμε να πάρουμε ένα σφάλμα του epsilon
. Το vecref
πρέπει να είναι null
ή μια αναφορά σε μεταβλητή όπου το ιδιοδιάνυσμα πρέπει να αποθηκευτεί.
See Planetmath for more information on Rayleigh quotient.
Rank (M)
Παραλλαγές: rank
Δίνει την τάξη ενός πίνακα.
See Planetmath for more information.
RosserMatrix ()
Επιστρέφει τον πίνακα Ρόσερ, που είναι ένα κλασικό συμμετρικό πρόβλημα δοκιμής ιδιοτιμής.
Rotation2D (angle)
Aliases: RotationMatrix
Επιστρέφει τον πίνακα που αντιστοιχεί στην περιστροφή γύρω από το αρχικό στο R2.
Rotation3DX (angle)
Επιστρέφει τον πίνακα που αντιστοιχεί στην περιστροφή γύρω από τον αρχικό στο R3 γύρω από τον άξονα x.
Rotation3DY (angle)
Επιστρέφει τον πίνακα που αντιστοιχεί στην περιστροφή γύρω από τον αρχικό στο R3 γύρω από τον άξονα y.
Rotation3DZ (angle)
Επιστρέφει τον πίνακα που αντιστοιχεί στην περιστροφή γύρω από τον αρχικό στο R3 γύρω από τον άξονα z.
RowSpace (M)
Δίνει έναν πίνακα βάσης για χώρο γραμμών ενός πίνακα.
SesquilinearForm (v,A,w)
Υπολογίζει το (v,w) ως προς τη γραμμικο-ημιγραμμική μορφή που δίνεται από τον πίνακα Α.
SesquilinearFormFunction (A)
Επιστρέφει μια συνάρτηση που υπολογίζει δύο διανύσματα ως προς τη γραμμικο-ημιγραμμική μορφή που δίνεται από το Α.
SmithNormalFormField (A)
Επιστρέφει την κανονική μορφή Σμιθ ενός πίνακα για πεδία (θα τελειώνει με 1 στη διαγώνιο).
See Wikipedia for more information.
SmithNormalFormInteger (M)
Return the Smith normal form for square integer matrices over integers.
See Wikipedia for more information.
SolveLinearSystem (M,V,args...)
Επιλύει το γραμμικό σύστημα Mx=V, επιστρέφει τη λύση V αν υπάρχει μια μοναδική λύση, αλλιώς null
. Δύο πρόσθετες παράμετροι αναφοράς μπορούν να χρησιμοποιηθούν προαιρετικά για να δώσουν τα ανηγμένα M και V.
ToeplitzMatrix (c, r...)
Return the Toeplitz matrix constructed given the first column c and (optionally) the first row r. If only the column c is given then it is conjugated and the nonconjugated version is used for the first row to give a Hermitian matrix (if the first element is real).
See Wikipedia or Planetmath for more information.
Trace (M)
Παραλλαγές: trace
Υπολογίζει το ίχνος ενός πίνακα. Δηλαδή, το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
Transpose (M)
Ανάστροφος ενός πίνακα. Αυτός είναι ο ίδιος με τον τελεστή .'
.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
VandermondeMatrix (v)
Παραλλαγές: vander
Επιστρέφει τον πίνακα Vandermonde.
See Wikipedia for more information.
VectorAngle (v,w,B...)
Η γωνία των δύο διανυσμάτων ως προς το εσωτερικό γινόμενο που δίνει ο B
. Αν ο B
δεν δίνεται, τότε το τυπικό ερμιτιανό γινόμενο χρησιμοποιείται. Ο B
μπορεί είτε να είναι γραμμικο-ημιγραμμική συνάρτηση δύο ορισμάτων ή μπορεί να είναι ένας πίνακας που δίνει μια γραμμικο-ημιγραμμική μορφή.
VectorSpaceDirectSum (M,N)
Το ευθύ άθροισμα των διαστημάτων διανύσματος Μ και Ν.
VectorSubspaceIntersection (M,N)
Τομή των υποχώρων που δίνονται από Μ και Ν.
VectorSubspaceSum (M,N)
Το άθροισμα των διανυσματικών χώρων M και N, δηλαδή {w | w=m+n, m στο M, n στο N}.
adj (m)
Παραλλαγές: Adjugate
Δίνει τον κλασικό συζυγή ενός πίνακα.
cref (M)
Aliases: CREF
ColumnReducedEchelonForm
Υπολογίζει την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή κατά στήλες.
det (M)
Παραλλαγές: Determinant
Δίνει την ορίζουσα ενός πίνακα.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
ref (M)
Aliases: REF
RowEchelonForm
Δίνει την μορφή κλιμακωτής γραμμής ενός πίνακα. Δηλαδή, εφαρμόζει την απαλοιφή Γκάους, αλλά όχι την πίσω πρόσθεση στο M
. Οι οδηγούσες γραμμές διαιρούνται για να κάνουν όλους τους οδηγούς 1.
See Wikipedia or Planetmath for more information.
rref (M)
Aliases: RREF
ReducedRowEchelonForm
Δίνει τη ανηγμένη κλιμακωτή μορφή κατά γραμμές ενός πίνακα. Δηλαδή, εφαρμόζει την απαλοιφή Γκάους μαζί με την πίσω πρόσθεση στο M
.
See Wikipedia or Planetmath for more information.